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El Teorema de Pick

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Una de las cosas más importantes que me traje de SM-Educamos es la obsesión por hacer las matemáticas manipulativas. Dentro del curriculo de 1º ESO se encuentra, a partir del área del triángulo, el cálculo de áreas por descomposición en figuras más simples, pero la geometría es la cenicienta del curriculo de Matemáticas, porque se explica de manera axiomática y al final queda como un conjunto de definiciones, fórmulas que se aplican para obtener resutados descontextualizados y que se olvidan con la misma facildad con la que se aprendieron.

El Teorema de Pick nos ofrece la oportunidad de darle un poco de alegría al cálculo de áreas y darles a los alumnos una herramienta para contrastar sus resultados, o de llegar al mismo resultado por dos vías diferentes.

Un poco de historia.

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George Pick (1859-1942) fue un matemático austríaco que desarroló gran parte de su carrera en la Universidad de Praga, destacando en Álgebra lineal, Geometría y Análisis. Llegó a ser rector de su universidad y fue amigo y protector de Einstein, al que propuso como catedrático de Física en Praga.

Pick murió en el campo de concentracón de Theresienstadt a la edad de 82 años dos semanas después de ser recluido allí.

El teorema por el que le conocemos apareción en un trabajo "menor"  de Pick (Geometría en la Teoría de números) que fue difundido por Hugo Dyonizy en los años 70 del siglo XX.

 El Teorema de Pick

El Teorema de Pick es una manera sorprendentemente sencilla de calcular el área de un polígono simple (de una sola pieza) cuyos vértices se hallan sobre los puntos de un geoplano (una cuadricula, como los cuadernos escolares).

Si llamamos D al número de puntos que quedan dentro del polígono y B al número de puntos que quedan en el borde, la fórmula de pick tiene este aspecto:

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Por ejemplo, vamos a aplicar el Teorema de Pick a este polígono:

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Sobre el polígono hemos marcado en azul los vértices, en rojo los puntos interiores y en verde los puntos del borde. En este caso D= 12 y B=13, por lo tanto la fórmula de Pick queda así:

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es decir, el área de este polígono es 17,5 unidades de superficie.

Podemos comprobar que el cálculo es correcto descomponiendo el área en triángulos y rectángulos, como en la imagen de aquí abajo:

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y calculando las áreas de los dos triángulos y rectángulos y sumándolos obtenemos el mismo resultado:

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La propuesta didáctica.

Resulta que en mi colegio las paredes están alicatadas con teselas, lo cual convierte el pasillo en un inmenso geoplano, así que decidí aprovecharlo para trabajar la geometría en 1º ESO de manera manipulativa.

Partiendo de que los alumnos ya conocen el área del rectángulo y del triángulo hicimos unos ejercicios de cálculo de áreas por descomposición. Después les expliqué el Teorema de Pick y les pedía que lo aplicasen a las figuras que habían trabajado en la sesión anterior.

Luego trabajando en equipos, tenían que proponer a sus compañeros a modo de desafío el cálculo del área de algunas figuras. Finalmente les pedí que diseñaran polígonos con áreas determinadas y que saliesen al pasillo y a base de "washi-tape" y "gomets" (que mis compañeras de infantil me proporcionaron amablemente) a representarlos en las paredes.

Finalmente les pedí que grabasen un vídeo explicando sobre su polígono el Teorema de Pick.

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Tienen más imágenes en este albúm de Google Photos.

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