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Cosas del infinito.

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Una de las citas más célebres de las matemáticas se atribuye a Von Neumann en una conversación con Einsten a propósito de la formulación matemática de la relatividad:

En Matemáticas no entendemos las cosas, simplemente nos acostumbramos a ellas.

Dejando de lado que esa es una opinión muy propia de físicos, es cierto que en Matemáticas hay cosas que son muy duras de asumir para un cerebro no entrenado.

Uno de esos conceptos "difíciles" es el infinito. Personalmente creo que no es posible para un cerebro humano comprender el infinito, pero algunos nos hemos acostumbrado a él.

El infinito es un sitio donde ocurren cosas extrañas. Vamos a ver algunas.

 

1. El hotel de Hilbert.

La siguiente historia es atribuida a Hilbert, aunque a veces se nombra a Cantor como autor. TAGS:undefined

Imaginen un viajero que llega a un hotel:

-Buenas noches. Necesito una habitación para dormir esta noche.

-Lo lamento- contesta el recepcionista- pero el hotel está completo.

- Bueno- dice el viajero- el problema no es que esté completo, sino que es finito. En un hotel infinito, aunque estuviese completo no tendríamos este problema.

El viajero tiene razón:

Si el hotel es infinito, aunque esté completo, siempre cabe una persona más. Podemos pedir al cliente que ocupa la habitación nº 1 que se mude a la habitación nº 2, al de la 2 que se mude a la 3 y así sucesivamente. Como el hotel es infinito, este proceso no termina nunca y por lo tanto siempre es posible meter un cliente más en el hotel.

De hecho podemos meter tantos como queramos. Por ejemplo, podemos pedir a cada cliente que se mude a una habitación mil posiciones más adelante (el 1 a la habitación 1001) y eso nos deja 1000 habitaciones libres.

Pero, ¿podemos meter infinitos viajeros en un hotel infinito que esté completo? Pues si. Solo hay que pedir a cada cliente que se mude a una habitación con un número doble que la suya (el de la habitación 1 a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6...) y eso nos libera automáticamente infinitas habitaciones en el hotel.

Así que ya saben, la proxima vez que vayan a un hotel no pregunten si está completo: pregunten si es finito.

2. En el infinito 0 = 1

Vamos a hacer un poco de aritmética.

Está claro que 0=0 

Podemos escribir esa igualdad como una suma infinita:

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y como 1-1=0 podemos sustituir cada 0 por 1-1:

 TAGS:undefinedahora eliminamos los paréntesis:

 TAGS:undefinedestá claro que esta suma sigue siendo 0, pero ¿que pasa si si hacemos la suma en otro orden?

Vamos a dejar el primer uno aparte y volvemos a colocar los paréntesis:

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Está claro que cada paréntesis vale 0, así que estamos sumando 1+ infinitos ceros. Podemos concluir por lo tanto que

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Toma ya. Acabamos de tumbar la aritmética de un manotazo.

En realidad hemos hecho trampas. En las sumas infintias no se pueden aplicar las mismas reglas que se aplican en operaciones finitas. Si lo hacemos aparecen contradicciones como estas.

3. La trompeta de Torricelli.

¿Recuerdan las Vuvuzelas que hicieron su aparición en el mundial de fútbol de Sudáfrica?  TAGS:undefinedPues ahora imaginen una vuvuzela infinita, que se estrecha infinitamente sin llegar a cerrarse nunca.

Matemáticamente tiene esta pinta:

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En el siglo XVI Torricelli demostró que ese objeto tiene una superficie infinita que encierra un volumen finito. La demostración de estos dos hechos está al alcance de cualquier estudiantes de Bachillerato con un par de integrales, si les interesa, está en la Wikipedia.

Ahora imaginemos que queremos pintar la trompeta por dentro, pero la superficie es infinita, así que no nos va a resultar fácil. Sin embargo, a Torricelli se le ocurrió una idea: Si el volumen es finito basta con llenarla trompetade pintura y dejarla escurrir hacia dentro.

Pero esto es algo paradójico, porque no podemos pintar una superficie infinita con un bote de pintura finito, por muy grande que sea: Siempre nos quedará infinita superficie por pintar (recuerden los clientes del hotel).

Como nota historica, el bueno de Torricelli se asustó bastante con su descubrimiento y tardó casi cinco años en comunicar su descubrimiento en unas cartas a colegas franceses y nunca lo publicó. Probablemente la experiencia de su maestro, Galileo, afirmando cosas que chocaban con las ideas preconcebidas le puso sobre aviso.

¿Por que ocurre esto? Pues porque este objeto es una ficción matemática: No se puede construir una trompeta infinita, y si se pudiese construir, sería imposible llenarla de pintura por completo, porque los número siempre se puedne dividir, pero las particulas de pintura no. Una vez llegados a nivel molecular se acabó. Y la trompeta puede tener un diámetro muchísimo menor que la molecula de pintura y a partir de ahi quedaría mucha (infinita, de hecho) trompeta sin pintar. Estas cosas pasan cuando intentamos aplicar la lógica finita a objetos o situacione sinfinitas.

 

 

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