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La conjetura de Collatz

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El problema de Siracusa es uno de esos problemas matemáticos muy fáciles de formular pero muy difíciles de resolver. Recibe muchos nombres diferentes: Conjetura de Ulam, Problema 3n+1, Problema de Siracusa, algoritmo de Hasse... A mi me gusta el que da nombre a esta entrada porque contiene el nombre del primero que la formuló.

Tanta diversidad de nombreses debida a la cantidad de gente que seha interesado por él sin conseguir una solución satisfactoria.

El problema original se debe a Lothar Collatz (1910-1990) que lo plantea por primera vez an 1937. En 1952 Helmut Hasse (tristementa conocido por haber solicitado su ingreso en el partido nazi, pese a tener ascendencia judía) se interesó por el problema y lo atacó desde el álgebra. Mas tarde, Collatz lo planteó en una conferencia en la Universidad de Siracusa, e interesó a Stanislaw Ullam, uno de los participantes en el proyecto Manhattan, que le dedicó muchas horas en Los Alamos. Parece ser que en el proyecto Manhattan se aburrian mucho (lean a Feynmann que en esos tiempos muertos aprendió a reventar cajas fuertes).

Como digo, el problema es muy sencillo de plantear: Consiste en elegir un número al azar y aplicar las siguientes operaciones:

  • Si el número es par se divide entre dos
  • Si el número es impar se multiplica por 3 y se le suma 1
  • Volver a aplicar al resultado.

Por ejemplo, elegimos el número 32

  • 32 es par luego hay que dividirlo entre 2 obtenemos 16
  • 16 es par luego hay que dividirlo entre 2 y obtenemos 8
  • 8 es par luego hay que dividirlo entre 2 y obtenemos 4
  • 4 es par luego hay que dividirlo entre 2 y obtenemos 1
  • 1 es impar luego lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1 y obtenemos 4

La secuencia de números que se obtiene es 32-16-8-4-2-1-4-2-1-4-2-1... hemos entrado en un bucle.

Otro ejemplo:

Elegimos el número 13. Voy a ahorrarles los detalles: La secuencia de números que se genera es la siguiente:

13-40-20-10-5-16-8-4-2-1-4-2-1...

Otra vez el bucle.

No importa cual sea el número elegido, el resultado siempre acaba en el bucle 4-2-1.

Todos los números con los que se ha probado el algoritmo terminan en el bucle 4-2-1, pero no se ha demostrado que esto ocurra con todos los números posibles (recuerden: son infinitos, no se puede probar con todos) ni se ha encontrado ninguno con el que no ocurra.

Les desafío a hacer sus propios cálculos y comprobar que siempre se acaba en este bucle. Y si no, pueden probar con un algoritmo que han programado la gente de Gaussianos. Vayan al navegadro de internet y escriban http://www.enric.es/php/conjetura-collatz/?f=xxx 

sustituyendo las x finales por el número que deseen y obtendrán la cadena de números correspondiente.

Si son capaces de encontrar un número que no acabe en bucle (poco probable) o de dar una demostración de que esto ocurre siempre entrarán con honores en el Panteón de los matemáticos.

 

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